Question

如圖所示，AB是圓O的直徑，CB是圓O的弦，D是的中點，過點D作直線與BC垂直，交BC延長線于E點，且交BA延長線于F點。
（1）求證：EF是圓O的切線；
（2）若tan B=，BE=6，求圓O的半徑。

Answer 1

解：（1）如圖，連結OD，BD， ∵DE⊥BC， ∴∠E=90° ∵D是的中點， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥ BE， ∴∠FDO=∠E=90°， ∴EF是⊙O的切線；
（2）在Rt△BEF中，∠E=90°，tan∠ABC== ，BE=6， ∴ 由勾股定理，有FB= 由（1）知OD∥BE， ∴△FOD∽△FBE， ∴， 設OD=x，FO=8-x ∴， 解得x=， 即⊙的半徑為。