Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG丄CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF．給出以下四個結論：
①；
②點F是GE的中點；
③AF=AB；
④S_△ABC=5S_△BDF，其中正確的結論序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據題意易證得△AFG∽△CFB，根據相似三角形的對應邊成比例與BA=BC，繼而證得正確；由點D是AB的中點，易證得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，繼而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性質，可得AC=AB，即可求得AF=AB；則可得S_△ABC=6S_△BDF．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴，
∵BA=BC，
∴，
故①正確；
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，點D是AB的中點，
∴BD=AB=CB，
∵tan∠BCD==，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，
∵=，
∴FG=FB，
∵GE≠BF，
∴點F不是GE的中點．
故②錯誤；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=AC，
∵AC=AB，
∴AF=AB，
故③正確；
∵BD=AB，AF=AC，
∴S_△ABC=6S_△BDF，
故④錯誤．
故答案為：①③．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質以及三角函數等知識．此題難度適中，解題的關鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．