Question

如圖，兩個同心圓，大圓的弦AB與小圓相切于P點，大圓的弦CD經過P，且CD＝13，PD＝4，求兩個圓組成的圓環的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：連結OP、OB，∵AB為小⊙O的切線， 　　∴OP⊥AB， 　　∴AP＝BP＝AB， 　　又∵AB與CD為大⊙O的兩條相交弦， 　　∴AP·PB＝PC·PD＝9×4＝36，∴PB＝PA＝6． 　　在Rt△OBP中，OB2－OP2＝BP2，即R2－r2＝BP2＝36， 　　∴S圓環＝π(R2－r2)＝36π． 　　思路點撥：圓環面積為S圓環＝π(R2－r2)，但本題無法直接求出R值和r，因此要對R2－r2進行轉化．根據圖中幾何性質知R2－r2＝BP2，因此，只要求出BP即可． 　　評注：本題考查圓環的面積公式，解題的關鍵是設法建立圓環面積與弦AB的內在聯系，即R2－r2與AB的關系．