Question

如圖，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=10cm．點O以2cm/s的速度在直線BC上從左向右運動，設運動時間為t（s），當t=0s時，點O在△ABC的左側，OC=5cm．以點O為圓心、cm長度為半徑r的半圓O與直線BC交于D、E兩點
（1）當t為何值時，△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切？
（2）當△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切時，如果半圓O與直線DE圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

解：（1）①如圖1，當點E與點C重合時，
∵AC⊥DE，OC=OE=cm，
∴AC與半圓O所在的圓相切，
∵原來OC=5，
∴點O運動了（5-）cm，
∵點O以2cm/s的速度在直線BC上從左向右運動，
∴運動時間為：t=，
t=2（秒），
∴當t=2時，△ABC的邊AC所在直線與半圓O所在的圓相切，
②如圖2，經過t秒后，動圓圓心移動的為2t，而原來OB=OC+BC=15，此時動圓圓心到B的距離為（15-2t），
此時動圓圓心到AB的距離為（30度角所對的直角邊等于斜邊的一半），
而此時圓的半徑是t，
則可得：=t，
解得：t=5．
③如圖3，當圓與AC相切時，2t-5=t，解得：t=秒；
④如圖4，當點O運動到B點的右側，OB=2t-5-BC=2t-15，
∵在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，
∴OQ=OB=（2t-15）=t-，
圓O的半徑是t，則t-=，解得：t=15．
總之，當t為2s，10s，s，15s時，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在圓相切．


（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分的只有如圖②與③所示的兩種情形．
①如圖②，設OA與半圓O的交點為M，易知重疊部分是圓心角為90°，半徑為5cm的扇形，所求重疊部分面積為：S_扇形EOM=π×5²=π（cm²）
②圖③，當圓O與AC相切時，半徑長是×=，
則半圓O在△ABC的內部，因而重合部分就是半圓O，則面積是：π（）²=．
分析：（1）隨著半圓的運動分四種情況：①當點E與點C重合時，AC與半圓相切，②當點O運動到點C時，AB與半圓相切，③當點O運動到BC的中點時，AC再次與半圓相切，④當點O運動到B點的右側時，AB的延長線與半圓所在的圓相切．分別求得半圓的圓心移動的距離后，再求得運動的時間．
（2）在1中的②，③中半圓與三角形有重合部分．在②圖中重疊部分是圓心角為90°，半徑為6cm的扇形，故可根據扇形的面積公式求解．在③圖中，所求重疊部分面積為=S_△POB+S_扇形DOP．
點評：本題利用了直線與圓相切的概念，扇形的面積公式，直角三角形的面積公式，銳角三角函數的概念求解．