Question

【題目】如圖所示，電腦繡花設計師準備在長120cm，寬8cm的矩形ABCD模板區域內設計繡花方案，現將其劃分為區域Ⅰ（2個全等的五邊形），區域Ⅱ（2個全等的菱形），區域Ⅲ（正方形EFGH中減去與2個菱形重合的部分），剩余為不刺繡的空白部分：點O是整副圖形的對稱中心EG∥AB，H，F分別為2個菱形的中心，MH＝2PH，HQ＝2OQ，為了美觀，要求MT不超過10cm．若設OQ＝x（cm），x為正整數．

（1）用含x的代數式表示區域Ⅲ的面積；

（2）當矩形ABCD內區域Ⅰ的面積最小時，圖案給人的視覺感最好．求此時MN的長度；

（3）區域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的刺繡方式各有不同．區域Ⅰ與區域Ⅲ所用的總針數之比為29：19，區域Ⅱ與區域Ⅲ每平方厘米所用的針數分別為a，b針（a，b均為整數，a＞b），區域Ⅲ的面積為正整數．這時整個模板的總針數為12960針，則a+b＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）x2（cm2）；（2）72cm；（3）5

【解析】

（1）由題意根據區域Ⅲ的面積＝正方形EFGH的面積﹣4×△JQH的面積進行分析求解；

（2）根據題意構建二次函數，求出自變量的取值范圍即可解決問題；

（3）由（2）可知：7.5≤x＜10，由區域Ⅲ的面積＝x2是整數，可得x＝9，由區域Ⅰ與區域Ⅲ所用的總針數之比為29：19，可以假設區域Ⅰ與區域Ⅲ所用的總針數分別為29k，19k，由區域Ⅱ的面積＝32x2，區域Ⅲ的面積＝x2，設區域Ⅱ的總針數為y．則有＝，可得y＝48k，根據整個模板的總針數為12960針，構建方程求出k，即可解決問題．

解：（1）∵OQ＝x，

∴HQ＝2OQ＝2x，OH＝3x，HF＝6x，

∴菱形EFGH的面積為18x2（cm2），

設EH交MQ于J．

∵∠JHQ＝45°，tan∠JQH＝2，HQ＝2x

解得這個三角形的面積為：x2（cm2），

∴區域Ⅲ的面積為：18x2﹣4×x2＝x2（cm2）．

（2）令區域Ⅰ的面積為y，則y＝2×[40（60﹣3x）﹣4x2]＝﹣8x2﹣240x+4800，

∴該函數的對稱軸為：直線x＝﹣15，

∵a＝﹣8＜0，

∴在對稱軸右側y隨x的增大而減小，

∵，

∴7.5≤x＜10，x為正整數，

∴x＝8，9，

∴當x＝9時，區域Ⅰ面積最小，此時MN＝8x＝72cm．

（3）由（2）可知：7.5≤x＜10，

∵區域Ⅲ的面積＝x2是整數，

∴x＝9，

∵區域Ⅰ與區域Ⅲ所用的總針數之比為29：19，

∴可以假設區域Ⅰ與區域Ⅲ所用的總針數分別為29k，19k，

∵區域Ⅱ的面積＝32x2，區域Ⅲ的面積＝x2，

設區域Ⅱ的總針數為y．則有＝，

∴y＝48k，

∵整個模板的總針數為12960針，

∴29k+48k+19k＝12960，

∴k＝135，

∴a+b＝＝5．

故答案為：5．