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如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，∠A=∠D=30°．
（1）判斷DC是否為⊙O的切線，并說明理由；
（2）證明：△AOC≌△DBC．

（1）DC是⊙O的切線．理由如下：
∵∠A=∠D=30°，
∴AC=CD，∠ACD=120°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切線．

（2）證明：連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=120°-90°=30°=∠D，
∴BC=BD．
∵∠CBO=2∠D=60°，OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，則BC=OC，
∴△AOC≌△DBC．（SSS）

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在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，O為AB上一點，AO=2，⊙O的半徑為

，⊙O與AC的位置關系是（　　）

A．相交

B．相離

C．相切

D．不能確定

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閱讀下面的材料：
如圖（1），在以AB為直徑的半圓O內有一點P，AP、BP的延長線分別交半圓O于點C、D．
求證：AP•AC+BP•BD=AB²．
證明：連接AD、BC，過P作PM⊥AB，則∠ADB=∠AMP=90°，
∴點D、M在以AP為直徑的圓上；同理：M、C在以BP為直徑的圓上．
由割線定理得：AP•AC=AM•AB，BP•BD=BM•BA，
所以，AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•（AM+BM）=AB²．
當點P在半圓周上時，也有AP•AC+BP•BD=AP²+BP²=AB²成立，那么：
（1）如圖（2）當點P在半圓周外時，結論AP•AC+BP•BD=AB²是否成立？為什么？
（2）如圖（3）當點P在切線BE外側時，你能得到什么結論？將你得到的結論寫出來．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖一，在△ABC中，分別以AB，AC為直徑在△ABC外作半圓O₁和半圓O₂，其中O₁和O₂分別為兩個半圓的圓心．F是邊BC的中點，點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點．
（1）連接O₁F，O₁D，DF，O₂F，O₂E，EF，證明：△DO₁F≌△FO₂E；
（2）如圖二，過點A分別作半圓O₁和半圓O₂的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q，連接PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求線段PQ的長；
（3）如圖三，過點A作半圓O₂的切線，交CE的延長線于點Q，過點Q作直線FA的垂線，交BD的延長線于點P，連接PA．證明：PA是半圓O₁的切線．