Question

【題目】如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG，BE．

（1）發現：當正方形AEFG繞點A旋轉，如圖2，①線段DG與BE之間的數量關系是　 　；②直線DG與直線BE之間的位置關系是　 　．

（2）探究：如圖3，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，證明：直線DG⊥BE．

（3）應用：在（2）情況下，連結GE（點E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，則線段DG是多少？（直接寫出結論）

Answer 1

【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）先判斷出△ABE≌△ADG，進而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出結論；

（2）先利用兩邊對應成比例夾角相等判斷出△ABE∽△ADG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出結論；

（3）先求出BE，進而得出BE=AB，即可得出四邊形ABEG是平行四邊形，進而得出∠AEB=90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出結論．

（1）①∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAE=∠DAG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴BE=DG；

②如圖2，延長BE交AD于G，交DG于H，

由①知，△ABE≌△ADG，

∴∠ABE=∠ADG，

∵∠AGB+∠ABE=90°，

∴∠AGB+∠ADG=90°，

∵∠AGB=∠DGH，

∴∠DGH+∠ADG=90°，

∴∠DHB=90°，

∴BE⊥DG

（2）∵四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，

∴∠BAD=∠DAG，

∴∠BAE=∠DAG，

∵AD=2AB，AG=2AE，

∴，

∴△ABE∽△ADG，

∴∠ABE=∠ADG，

∵∠AGB+∠ABE=90°，

∴∠AGB+∠ADG=90°，

∵∠AGB=∠DGH，

∴∠DGH+∠ADG=90°，

∴∠DHB=90°，

∴BE⊥DG；

（3）如圖4，（為了說明點B，E，F在同一條線上，特意畫的圖形）

∵EG∥AB，

∴∠DME=∠DAB=90°，

在Rt△AEG中，AE=1，

∴AG=2AE=2，

根據勾股定理得，EG=，

∵AB=，

∴EG=AB，

∵EG∥AB，

∴四邊形ABEG是平行四邊形，

∴AG∥BE，

∵AG∥EF，

∴點B，E，F在同一條直線上如圖5，

∴∠AEB=90°，

在Rt△ABE中，根據勾股定理得，BE==2，

由（3）知，△ABE∽△ADG，

∴，

∴，

∴DG=4．