Question

16．如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且∠DBE=∠DCF．問：
（1）BE=FC嗎？請說明理由；
（2）若△ADC的面積為7cm²，△DFC的面積為2cm²，則△ABD的面積為3cm²．（直接寫出答案即可，不要計算過程）

Answer 1

分析 （1）EB=FC，利用AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，得到DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，證明△BED≌△CFD，即可解答．
（2）先證明△AED≌△AFD，得到△AED與△AFD面積相等，根據△ADF的面積=△ADC的面積-△DFC的面積=5cm²，得到△AED的面積為5cm²，又由△BED≌△CFD，得到△BED和△CFD的面積相等，根據△ABD的面積=△AED的面積-△BED的面積，即可解答．

解答 解：（1）EB=FC，理由如下：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠DFC}\\{∠DBE=∠DCF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFD，
∴EB=FC．
（2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△AED≌△AFD，
∴△AED與△AFD面積相等．
∵△ADC的面積為7cm²，△DFC的面積為2cm²，
∴△ADF的面積=△ADC的面積-△DFC的面積=5cm²，
∴△AED的面積為5cm²，
∵△BED≌△CFD，
∴△BED和△CFD的面積相等，
∴△BED的面積為2cm²，
∴△ABD的面積=△AED的面積-△BED的面積=5-2=3（cm²），
故答案為：3cm²．

點評 本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理，解決本題的關鍵是證明三角形全等．