Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點E，交⊙O于點F，連接BF，CF，∠D=∠BFC.

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若AC=8，tanB =，求AD的長.

 

Answer 1

 

（1）證明略

（2）

解析:（1）證明：∵OD⊥AC于點E，

             ∴∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．

             ∵ ∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，

             ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．

               ∴ OA⊥AD于點A．………………………1分

             ∵ OA是⊙O的半徑，

        ∴ AD是⊙O的切線． ……………………2分

   （2）解：∵ OD⊥AC于點E，AC是⊙O的弦，AC=8，

          ∴ ．………………………………………………………3分

            ∵ ∠B=∠C，tanB =，

          ∴ 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．

          ∴ ．

            設⊙O的半徑為r，則．

            在Rt△OAE中，由勾股定理得 ，即 ．

            解得 r =5．……………………………………………………………………4分

          ∴ 在Rt△OAE中，．

            ∴ 在Rt△OAD中，． ………………………5分