Question

如圖，已知拋物線C₁：的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．
【小題1】求P點坐標及a的值；
【小題2】如圖（1），

拋物線C₂與拋物線C₁關于x軸對稱，將拋物線C₂向右平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C₃的解析式；
【小題3】如圖（2），

點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C₁繞點Q旋轉180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

Answer 1

p;【答案】
【小題1】由拋物線C₁：得
頂點P的為（-2，-5）  ………2分
∵點B（1，0）在拋物線C₁上
∴
解得，a＝            ………4分
【小題2】連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G

∵點P、M關于點B成中心對稱
∴PM過點B，且PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴頂點M的坐標為（4，5）                 ………6分
拋物線C₂由C₁關于x軸對稱得到，拋物線C₃由C₂平移得到
∴拋物線C₃的表達式為  ………8分
【小題3】∵拋物線C₄由C₁繞點x軸上的點Q旋轉180°得到
∴頂點N、P關于點Q成中心對稱

由（2）得點N的縱坐標為5
設點N坐標為（m，5）           ………9分
作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G
作PK⊥NG于K
∵旋轉中心Q在x軸上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，點F坐標為（m+3，0）
H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5），
根據勾股定理得
PN²＝NK²+PK²＝m²+4m+104
PF²＝PH²+HF²＝m²+10m+50
NF²＝5²+3²＝34              ………10分
①當∠PNF＝90º時，PN²+ NF²＝PF²，解得m＝，∴Q點坐標為（，0） 
②當∠PFN＝90º時，PF²+ NF²＝PN²，解得m＝，∴Q點坐標為（，0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º
綜上所得，當Q點坐標為（，0）或（，0）時，以點P、N、F為頂點
的三角形是直角三角形．      ………12分解析:
略