Question

如圖，已知拋物線C₁：y=a（x+2）²-5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．
（1）求P點坐標及a的值；
（2）如圖（1），拋物線C₂與拋物線C₁關于x軸對稱，將拋物線C₂向右平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C₃的解析式；
（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C₁繞點Q旋轉180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線C₁：y=a（x+2）²-5得頂點P的為（-2，-5），把點B（1，0）代入拋物線解析式，解得，a=

5

9

；
（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G，根據點P、M關于點B成中心對稱，證明△PBH≌△MBG，所以MG=PH=5，BG=BH=3，即頂點M的坐標為（4，5），根據拋物線C₂由C₁關于x軸對稱得到，拋物線C₃由C₂平移得到，所以拋物線C₃的表達式為y=-

5

9

（x-4）²+5；
（3）根據拋物線C₄由C₁繞點x軸上的點Q旋轉180°得點N的縱坐標為5，設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K，可求得EF=AB=2BH=6，FG=3，點F坐標為（m+3，0），H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5），根據勾股定理得：PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，PF²=PH²+HF²=m²+10m+50，NF²=5²+3²=34．
分三種情況討論，利用勾股定理列方程求解即可．①當2∠PNF=90°時，PN²+NF²=PF²，解得m=

44

3

，即Q點坐標為（

19

3

，0）；②當∠PFN=90°時，PF²+NF²=PN²，解得m=

10

3

，∴Q點坐標為（

2

3

，0），③PN＞NK=10＞NF，所以∠NPF≠90°綜上所得，當Q點坐標為（

19

3

，0）或（

2

3

，0）時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形．

解答：解：（1）由拋物線C₁：y=a（x+2）²-5得，
頂點P的坐標為（-2，-5），
∵點B（1，0）在拋物線C₁上，
∴0=a（1+2）²-5，
解得a=

5

9

；

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G，
∵點P、M關于點B成中心對稱，
∴PM過點B，且PB=MB，
∴△PBH≌△MBG，
∴MG=PH=5，BG=BH=3，
∴頂點M的坐標為（4，5），
拋物線C₂由C₁關于x軸對稱得到，拋物線C₃由C₂平移得到，
∴拋物線C₃的表達式為y=-

5

9

（x-4）²+5；

（3）∵拋物線C₄由C₁繞點x軸上的點Q旋轉180°得到，
∴頂點N、P關于點Q成中心對稱，
由（2）得點N的縱坐標為5，
設點N坐標為（m，5），
作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，
作PK⊥NG于K，
∵旋轉中心Q在x軸上，
∴EF=AB=2BH=6，
∴FG=3，點F坐標為（m+3，0）．
H坐標為（-2，0），K坐標為（m，-5），
∵頂點P的坐標為（-2，-5），
根據勾股定理得：
PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，
PF²=PH²+HF²=m²+10m+50，
NF²=5²+3²=34，
①當∠PNF=90°時，PN²+NF²=PF²，解得m=

44

3

，
∴Q點坐標為（

19

3

，0）．
②當∠PFN=90°時，PF²+NF²=PN²，解得m=

10

3

，
∴Q點坐標為（

2

3

，0）．
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°
綜上所得，當Q點坐標為（

19

3

，0）或（

2

3

，0）時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形．

點評：本題結合三角形的性質考查二次函數的綜合應用，函數和幾何圖形的綜合題目，要利用直角三角形的性質和二次函數的性質把數與形有機的結合在一起，利用勾股定理作為相等關系求解．