Question

（2007•梅州）如圖，△ABC中，AB=2，BC=2，AC=4，E，F分別在AB，AC上，沿EF對折，使點A落在BC上的點D處，且FD⊥BC．
（1）求AD的長；
（2）判斷四邊形AEDF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為AC²=AB²+BC²，根據勾股定理和逆定理知，△ABC是直角三角形，∠B=90°，由折疊的性質知，AF=DF，∠AFE=∠DFE=（180°-∠DFC）÷2=60°，則EF是等腰三角形△AFD的頂角的平分線，也是△AFD的底邊上的高所在的直線，∴EF⊥AD，所以∠FAD=∠FDA=30°，所以∠DAB=30°，由ADcos30°=AB，而求得AD的值．
（2）由（1）知，先證AEDF是平行四邊形，再證AF=FD，所以四邊形AEDF是菱形．
解答：解：（1）因為AB=2，BC=2，AC=4，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
又∵AC=2AB，
∴∠C=30°，∠BAC=60°
由FD⊥BC，得∠DFC=60°，
又∵AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA=30°，
∴∠DAB=30°，
∴ADcos30°=AB，得．

（2）四邊形AEDF是菱形．
證明：∵AB⊥BC，FD⊥BC，
∴AE∥FD，
∵∠BAC=60°，
∴∠AFD=120°，
∵∠DAF=30°，AF=DF，
∴∠ADF=30°，
∴∠EAD=∠ADE=30°，
∴∠EDF=60°，
∴AF∥ED，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵AF=DF，
∴平行四邊形AEDF是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
點評：本題利用了：
1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；
2、勾股定理，直角三角形的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質、平行四邊形和菱形的判定和性質求解．