Question

按照某學者的理論，假設一個生產某產品單件成本為a元，如果他賣出該產品的單價為m元，則他的滿意度為

m

m+a

；如果他買進該產品的單價為n元，則他的滿意度為

a

n+a

．如果一個人對兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h₁和h₂，則他對這兩種交易的綜合滿意度為

h1h2

．現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和8元，設產品A、B的單價分別為m_A元和m_B元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h．
（1）求h關于m_A、m_B的表達式；
（2）設m_A=3m_B，求甲的綜合滿意度h的最大值（當a、b均為正數時，可以使用公式a+b≥2

ab

）．

Answer 1

分析：（1）表示出甲和乙的滿意度，整理出最簡形式即可；
（2）在上一問表示出的結果中，整理出關于變量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出兩個人滿意度最大時的結果即可．

解答：解：（1）甲：買進A的滿意度為h_A1=

12

mA+12

，賣出B的滿意度為h_B1=

mB

mB+8

；
所以，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h_甲=

hA1•hB1

=

12 mA+12 × mB mB+8

=

12mB (mA+12)(mB+8)

；
（ 2）當m_A=3m_B 時，
h=

h1h2

=

12mB (mA+12)(mB+8)

=

4mB mB 2+32+12mB

≤

4mB 2 32 mB+12 mB

=

2

-1．

點評：本題考查函數模型的選擇和應用，本題解題的關鍵是理解題意，這是最主要的一點，題目中所用的知識點不復雜，只要注意運算就可以．