Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，點D在AC上，將△ADB沿直線BD翻折后，將點A落在點E處，如果AD⊥ED，那么線段DE的長為（ ）

A．1
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據翻折變換的性質可得∠ABD=∠EBD，AD=DE，AB=BE，連接AE，可得△ADE是等腰直角三角形，然后求出∠DAE=45°，從而得到∠BAE，再根據等腰三角形兩底角相等求出∠ABE，然后求出∠ABD，根據直角三角形兩銳角互余求出∠ABC，再求出∠CBD=45°，得到△BCD是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得CD=BC，然后利用勾股定理列式求出AC，然后根據AD=AC-CD計算得到AD，即為DE的長．
解答：解：∵△ADB沿直線BD翻折后點A落在點E處，
∴∠ABD=∠EBD，AD=DE，AB=BE，
連接AE，∵AD⊥ED，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAE=30°+45°=75°，
在△ABE中，∠ABE=180°-2×75°=30°，
∴∠ABD=∠ABE=×30°=15°，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-15°=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BC=1，
又∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×1=2，
∴AC===，
∴AD=AC-CD=-1，
即DE=-1．
故選D．
點評：本題考查了翻折變換的性質，主要利用了翻折前后的圖形能夠完全重合，根據角的度數求出△BCD是等腰直角三角形是解題的關鍵．