Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等邊△DEF從初始位置(點E與點B重合，EF落在BC上，如圖1所示)在線段BC上沿BC方向以每秒1個單位的速度平移，DE、DF分別與AB相交于點M、N。當點F運動到點C時，△DEF終止運動，此時點D恰好落在AB上，設平移的時間為．

(1)求△DEF的邊長；

(2)求M點、N點在BA上的移動速度；

(3)在△DEF開始運動的同時，如果點P以每秒2個單位的速度從D點出發沿DE→EF運動，最終運動到F點．若設△PMN的面積為，求與的函數關系式，寫出它的定義域；并說明當P點在何處時，△PMN的面積最大?

Answer 1

解：(1)當點F與點C重合時，如圖1所示：

∵△DEF為等邊三角形 ∴∠DFE=60°

∵∠B=30° ∴∠BDF=90°

∴FD=BC=3

(2)過E點作EG⊥AB      ∵∠DEF=60°，∠B=30°

∴∠AMF=30° ∵EB=EM

在Rt△EBG中，BG=

∴BM=2BG=

∴M點在BA上的移動速度為

過F點作FH⊥F₁D_l ，在Rt△FF₁H中，

FH

∴N點在BA上的移動速度為

(3)在Rt△DMN中，DM=，MN

當P點運動到M點時，有

∴

①當P點在DM之間運動時，過P點作PP₁上AB，垂足為P₁。

在Rt△PMP_l中，  ∴PP_l

∴與的函數關系式為：

②當P點在ME之間運動時，過P點作PP₂⊥AB，垂足為P₂

在Rt△PMP₂中，PM= 

∴PP₂

∴與的函數關系式為：

③當P點在EF之間運動時，過P點作PP₃⊥AB，垂足為P₃

在Rt△PMP₃中，PM=  ∴PP₃=

∴與的函數關系式為：

∴

∴當時，

而當P點在D點時，

∵

∴當P點在D點時，△PMN的面積最大