Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD=2，BC=4．點M從B點出發以每秒2個單位的速度向終點C運動；同時點N從D點出發以每秒1個單位的速度向終點A運動．過點N作NP⊥BC，垂足為P，NP=2．連接AC交NP于Q，連接MQ．若點N運動時間為t秒
（1）請用含t的代數式表示PC；
（2）求△CMQ的面積S與時間t的函數關系式，當t取何值時，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AE垂直x軸于E，則由等腰梯形的對稱性可知BE的長，從而得出PC；
（2）可證出△AQN∽△CQP，從而求出PQ的長，則S_△CMQ=-+．再根據二次函數的性質，求得當t取時，S有最大值．
解答：解：（1）如圖，過A作AE垂直x軸于E，則由等腰梯形的對稱性可知：BE==1，
當動點N運動t秒時，PC=1+t．（2分）

（2）∵AD∥BC，NP⊥BC，
∴∠ANQ=∠CPQ=90°，
又∵∠AQN=∠CQP，
∴△AQN∽△CQP，
∴=，
∴=，
∴PQ=（4分）
∵點M以每秒2個單位運動，
∴BM=2t，CM=4-2t，
S_△CMQ=CM•PQ=（4-2t）•，
=-t²+t+，（6分）
當t=2時，M運動到C點，△CMQ不存在，
∴t≠2，
∴t的取值范圍是0≤t＜2，（7分）
S_△CMQ=-t²+t+=-+．
當t=時，S有最大值，最大值是．（8分）
點評：本題是一道綜合題，考查了相似三角形的判定和性質、等腰梯形的性質以及二次函數的最值問題，是中考壓軸題．