Question

已知，如圖，AB∥CD，∠BAC的角平分線與∠DCA的角平分線交于點M，經過點M的直線EF與AB垂直，垂足為F，且EF與CD交于點E．求證：M為EF的中點．

Answer 1

解：過點M作MN⊥AC于點N，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
又∵AM平分∠BAC，CM平分∠DCA，
∴MF=MN，MN=ME，
∴ME=MF，
∴M為EF的中點．
分析：首先過點M作MN⊥AC于點N，由AB∥CD，EF⊥AB，可得EF⊥CD，又由AM平分∠BAC，CM平分∠DCA，根據角平分線的性質，即可得MF=MN，MN=ME，則可證得M為EF的中點．
點評：此題考查了角平分線的性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．