Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論：①BE＝2AE；②△DFP～△BPH；③；④DP2＝PHPC；其中正確的是（　　）

A. ①②③④B. ①③④C. ②③D. ①②④

Answer 1

【答案】D

【解析】

由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

∵△BPC是等邊三角形，

∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，

在正方形ABCD中，

∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°

∴∠ABE＝∠DCF＝30°，

∴BE＝2AE；故①正確；

∵PC＝CD，∠PCD＝30°，

∴∠PDC＝75°，

∴∠FDP＝15°，

∵∠DBA＝45°，

∴∠PBD＝15°，

∴∠FDP＝∠PBD，

∵∠DFP＝∠BPC＝60°，

∴△DFP∽△BPH；故②正確；

∵∠DCF＝90°﹣60°＝30°，

∴tan∠DCF＝，

∵△DFP∽△BPH，

∴，

∵BP＝CP＝CD，

∴；故③錯(cuò)誤；

∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，

∴△DPH∽△CPD，

∴，

∴DP2＝PHPC，故④正確；

故選D．