Question

如圖①，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上任意一點，DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F．
（1）求證：DE-BF=EF；
（2）若點G為CB延長線上一點，其余條件不變．請你在圖②中畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數量關系（不需要證明）；
（3）若AB=2a，點G為BC邊中點時，試探究線段EF與GF之間的數量關系，并通過計算來驗證你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的四條邊都相等可得DA=AB，再根據同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角邊”證明△ABF和△DAE全等，再根據全等三角形對應邊相等可得BF=AE，AF=DE，然后根據圖形列式整理即可得證；
（2）根據題意作出圖形，然后根據（1）的結論可得BF=AE，AF=DE，然后結合圖形寫出結論即可；
（3）根據中點定義求出BG，再利用勾股定理列式求出AG的長，然后利用△ABG的面積列式求出BF的長，再根據勾股定理列式求出FG的長，然后求出AF、AE、BF的長，再表示出EF的長，從而得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠ADE ∠AFB=∠DEA=90° DA=AB

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF；

（2）解：如圖②，DE+BF=EF；

（3）解：EF=2FG．理由如下：
∵AB=2a，點G為BC邊中點，
∴BG=a，
根據勾股定理得，AG=

AB2+BG2

=

(2a)2+a2

=

5

a，
又∵AB⊥BC，BF⊥AG，
∴S_△ABG=

1

2

×

5

a•BF=

1

2

•2a•a，
∴BF=

2 5

5

a，
根據勾股定理得，FG=

BG2-BF2

=

a2-( 2 5 5 a)2

=

5

5

a，
∴AF=AG-FG=

5

a-

5

5

a=

4 5

5

a，
∵AE=BF=

2 5

5

a，
∴EF=AG-AE-FG=

5

a-

2 5

5

a-

5

5

a=

2 5

5

a，
∴EF=2FG．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，熟記正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角，然后求出三角形全等是解題的關鍵．