Question

（2009•慶陽）如圖，在邊長為2的圓內接正方形ABCD中，AC是對角線，P為邊CD的中點，延長AP交圓于點E．
（1）∠E=______度；
（2）寫出圖中現有的一對不全等的相似三角形，并說明理由；
（3）求弦DE的長．

Answer 1

【答案】分析：由“同弧所對的圓周角相等”可知∠E=∠ACD=45°，∠CAE=∠EDC，所以△ACP∽△DEP；求弦DE的長有兩種方法：
一，利用△ACP∽△DEP的相似比求DE的長；
二、過點D作DF⊥AE于點F，利用Rt△DFE中的勾股定理求得DE的長．
解答：解：（1）∵∠ACD=45°，∠ACD=∠E，
∴∠E=45°．（2分）

（2）△ACP∽△DEP，（4分）
理由：∵∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE，
∴△ACP∽△DEP．（6分）

（3）方法一：
∵△ACP∽△DEP，
∴．（7分）
∵P為CD邊中點，
∴DP=CP=1
∵AP=，AC=，（9分）
∴DE=．（10分）
方法二：
如圖2，過點D作DF⊥AE于點F，
在Rt△ADP中，AP=．（7分）
又∵S_△ADP=AD•DP=AP•DF，（8分）
∴DF=．（9分）
∴DE=DF=．（10分）
點評：此題主要考查相似三角形的判定及圓周角定理的運用．