Question

如圖，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的上有一運動的點P．從點P向半徑OA引垂線PH交OA于點H．設△OPH的內心為I，當點P在上從點A運動到點B時，內心I所經過的路徑長為    ．

Answer 1

【答案】分析：如圖，連OI，PI，AI，由△OPH的內心為I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易證△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以點I在以OA為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過A、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′A，O′O，在優弧AO取點P，連PA，PO，可得∠APO=180°-135°=45°，得∠AOO=90°，O′O=OA=×2=，然后利用弧長公式計算弧OA的長．
解答：解：如圖，連OI，PI，AI，
∵△OPH的內心為I，
∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OA，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°-（∠HOP+∠OPH）=180°-（180°-90°）=135°，
又∵OP=OA，OI公共，
而∠IOP=∠IOA，
∴△OPI≌△OAI，
∴∠AIO=∠PIO=135°，
所以點I在以OA為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；
過A、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′A，O′O，
在優弧AO取點P，連PA，PO，
∵∠AIO=135°，
∴∠APO=180°-135°=45°，
∴∠AOO=90°，而OA=2cm，
∴O′O=OA=×2=，
∴弧OA的長==（cm），
所以內心I所經過的路徑長為cm．
故答案為：cm．
點評：本題考查了弧長的計算公式：l=，其中l表示弧長，n表示弧所對的圓心角的度數．同時考查了三角形內心的性質、三角形全等的判定與性質、圓周角定理和圓的內接四邊形的性質．