Question

（2003•三明）已知：如圖①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF=nAE（n是正整數）的關系，分別在兩鄰邊長a、na的矩形ABCD各邊上運動，設AE=x，四邊形EFGH的面積為S．
（1）當n=1、2時，如圖②③，觀察運動情況，寫出四邊形EFGH各頂點運動到何位置，使S=S_矩形ABCD（2）當n=3時，如圖④，求S與x之間的函數關系式（寫出自變量x的取值范圍），探索S隨x增大而變得化的規律；猜想四邊形EFGH各頂點運動到何位置使S=S_矩形ABCD
（3）當n=k（k≥1）時，你所得到的規律和猜測是否成立，請說明理由．
（考生注意：你在本題研究中，如果能發現新的結論，并說明結論正確的理由，將酌情另加3～5分）

Answer 1

【答案】分析：本題要先求出四邊形EFGH的面積與x的函數關系式，然后根據函數的性質來判斷x的知和E、H等的位置．由于AE=CB，AH=CF，可證得△AEH≌△CGF，因此兩三角形的面積相等，同理可求得△EBF和GDH的面積相等，因此四邊形EFGH的面積可用矩形ABCD的面積-2×△EBF的面積-2×△AEH的面積來求得．三角形AEH中，AE=x，AH=na-nx，據此可求出三角形AEH的面積，同理可求出三角形EBF的面積，那么根據上面所得出的四邊形EFGH的面積計算方法可求出關于四邊形EFGH的面積與x的函數關系式．進而可判斷當四邊形EFGH的面積是矩形面積的一半時x的值，即E、H的位置．
解答：解：（1）當n=1時，四邊形EFGH各頂點運動到矩形ABCD各對應邊中點，使S=S_矩形ABCD當n=2時，四邊形EFGH各頂點也運動到矩形ABCD各對應邊中點，使S=S_矩形ABCD

（2）當n=3時，如圖④，由已知條件知，AE=CG=x，BF=DH=3x，AH=CF=3a-3x，BE=DG=a-x
∵S=S_矩形ABCD-S_Rt△AEH-S_Rt△BFE-S_Rt△CGF-S_Rt△DHG=S_矩形ABCD-2S_Rt△AEH-2S_Rt△BFE
=AB×CD-2×AE×AH-2×BF×BE
∴S=3a²-x（3a-3x）-3x（a-x）
=6（x²-ax）+3a²
即S=6（x-）²+a²（0≤x≤a）
∵6＞0
∴二次函數圖象的開口向上
∴規律是：在對稱軸x=左側，S隨x的增大而減��；在對稱軸x=右側，S隨x的增大而增大．
猜測；四邊形EFGH各頂點仍然運動到矩形ABCD各對應邊中點．

（3）當n=k時，上述規律和猜測是成立的．
同理可求S=2kx²-2kax+ka²=（0≤x≤a）
由于k≥1，所以2k＞0
∴二次函數圖象的開口向上，對稱軸依然是x=，根據函數性質知S隨x的增大而變化的規律，即：“在對稱軸x=左側，S隨x的增大而減小；在對稱軸x=右側，S隨x的增大而增大”是仍然成立的．
當x=時，即AE=CG=，易知BF=DH=，
又∵S=
∵S_矩形ABCD=ka²
∴S=S_矩形ABCD
即猜測：四邊形EFGH各頂點運動到矩形ABCD各對應邊中點，使S=S_矩形ABCD是成立的．
點評：本題主要考查了矩形的性質、圖形面積的求法、二次函數的應用等知識．