Question

（2003•三明）已知：如圖，邊長為2的正五邊形ABCDE內接于⊙O，AB、DC的延長線交于點F，過點E作EG∥CB交BA的延長線于點G．
（1）求證：AB²=AG•BF；
（2）證明：EG與⊙O相切，并求AG、BF的長．

Answer 1

【答案】分析：欲證AB²=AG•BF，可證△EAG∽△FBC及正五邊形ABCDE的特點得出；求AG、BF的長，需連接EF，易證明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依據EG與⊙O相切，用切線的性質得出．
解答：證明：（1）易證五邊形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG=∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴，即BC•AE=AG•BF．
又∵BC=AE=AB，
∴AB²=AG•BF．①

（2）連接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC為等腰三角形，易知BA=CD，
∴FA=FD，
∴EF⊥BC且EF平分BC，
∴EF過圓心O．
又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，
∴EG與⊙O相切．
∴EG²=AG•BG．
由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，
設AG=x，則2²=x（x+2），解得x=，
∴AG=，代入①中可得：BF=．
點評：乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過相似三角形的性質得出，同時考查了切線的性質．