Question

在⊙O的內接△ABC中，AD⊥BC于D，
（1）①圖1中，若作直徑AP，求證：AB•AC=AD•AP；
②已知AB+AC=12，AD=3，設⊙O的半徑為y，AB的長為x．求y與x的函數關系式，及自變量x的取值范圍；
（2）圖2中，點E為⊙O上一點，且

AE

=

AB

，求證：CE+CD=BD．

Answer 1

分析：（1）連接BP，求出△ADC∽△ABP，得出比例式，即可求出答案；
（2）根據AB•AC=AP•AD，代入求出即可；
（3）連接AE，BE，在BD上截取DF=DC，連接AF，求出AB=AE，AF=AC，∠1=∠6，證△ABF≌△AEC，推出BF=CE即可．

解答：（1）證明：連接BP，
∵AP是直徑，
∴∠ABP=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°=∠ABP，
∵∠C=∠P，
∴∠ADC∽△ABP，
∴

AB

AD

=

AP

AC

，
∴AB•AC=AD•AP；

（2）解：∵AB+AC=12，AD=3，設⊙O的半徑為y，AB的長為x，
∴AP=2y，AC=12-x，
∵AB•AC=AD•AP，
∴x•（12-x）=2y•3，
∴y=-

1

6

x²+2x
∵AB+AC=12，AB是三角形邊長，
∴x＞3，x＜12，
即x的取值范圍是：3＜x＜12；

（3）解：連接AE，BE，在BD上截取DF=DC，連接AF，
∵弧AB=弧AE，
∴AB=AE，∠ACB=∠2+∠3，
∵DF=DC，AD⊥BC，
∴AF=AC，
∴∠4=∠ACD=∠2+∠3，
∵∠4=∠1+∠2，
∴∠3=∠1，
∵∠6=∠3，
∴∠1=∠6，
在△ABF和△AEC中，

AB=AE ∠1=∠6 AF=AC

∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴BF=CE，
∵BD=BF+DF，CD=DF，
∴CE+CD=BD．

點評：本題考查了等腰三角形性質，線段垂直平分線，全等三角形的性質和判定，圓周角定理，相似三角形的性質和判定等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，難度偏大．