Question

已知x，y為正整數，并且xy+x+y=71，x²y+xy²=880，求3x²+8xy+3y²的值．

Answer 1

分析：由已知條件xy+x+y=71可得xy=71-（x+y）；再由x²y+xy²=880可得xy（x+y）=880，把xy=71-（x+y）代入xy（x+y）=880中得式子71（x+y）-（x+y）²=880，然后把其進行因式分解，可以得到x+y的值，再把x+y的值分情況代入xy+x+y=71中，又可以得到xy的值，再根據已知條件x，y為正整數確定x+y和xy的值，最后代入3x²+8xy+3y²中就可以得到結果．

解答：解：∵xy+x+y=71
∴xy=71-（x+y）
∵x²y+xy²=880
∴x²y+xy²=xy（x+y）=[71-（x+y）]*（x+y）=71（x+y）-（x+y）²=880
∴（x+y）²-71（x+y）+880=0
∴[（x+y）-55]•[（x+y）-16]=0
∴（x+y）-55=0或（x+y）-16=0
解得：x+y=55或x+y=16
（1）當x+y=55時，代入xy+x+y=71中得：xy=16
（2）當x+y=16時，代入xy+x+y=71中得：xy=55
因為x，y為正整數，所以結果（1）不可能，去掉
3x²+8xy+3y²=3（x+y）²+2xy
=3×16²+2×55
=3×256+110
=878

點評：此題主要考查了整體代入法，因式分解和分類討論思想的綜合運用，做此類題目時要注意分類討論時要全面，還要符合題目中的條件，此題綜合性較強，難度適中．