Question

邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形．取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形，記為第1個正六邊形．取這個正六邊形不相鄰的三邊中點順次連接，又得到一個等邊三角形，記為第2個等邊三角形．取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如圖）…，按此方式依次操作．則第6個正六邊形的邊長是    ．

Answer 1

【答案】分析：延長第2個等邊三角形的一邊與第1個等邊三角形的一邊相交于D，然后判定BD是三角形的中位線，然后求出BD的長，再求出BC的長，從而求出第2個等邊三角形與第一個等邊三角形邊長的關系，也就是第2個正六邊形與第1個正六邊形的邊長的關系，再根據此規律依次求解即可．
解答：解：如圖，延長AB與第1個等邊三角形的邊相交于點D，
∵B為中點，
∴BD=×a=，
∴BC=a--=，
∴第2個等邊三角形的邊長是第1個等邊三角形的邊長的，
∵正六邊形的邊長是相應等邊三角形邊長的，
∴下一個正六邊形的邊長是前一個正六邊形的邊長的，
根據題意，第一個正六邊形的邊長是a，
所以，第6個正六邊形的邊長：a×（）⁵=a．
故答案為：a．
點評：本題考查了等邊三角形的性質，三角形的中位線定理，作輔助線并求出后一個等邊三角形是前一個等邊三角形的邊長的是解題的關鍵．