Question

27、閱讀：我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為整數的正n（n＞3）邊形的邊按照如圖1的方式連續轉動，當頂點P回到正n邊形的內部時，我們把這種狀態稱為它的“點回歸”；當△PQR回到原來的位置時，我們把這種狀態稱為它的“三角形回歸”．
例如：如圖2，

邊長為1的等邊三角形PQR的頂點P在邊長為1的正方形ABCD內，頂點Q與點A重合，頂點R與點B重合，△PQR沿著正方形ABCD的邊BC、CD、DA、AB…連續轉動，當△PQR連續轉動3次時，頂點P回到正方形ABCD內部，第一次出現P的“點回歸”；當△PQR連續轉動4次時△PQR回到原來的位置，出現第一次△PQR的“三角形回歸”．
操作：如圖3，

如果我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正五邊形ABCDE的邊連續轉動，則連續轉動的次數
k=

3

時，第一次出現P的“點回歸”；連續轉動的次數k=

5

時，第一次出現△PQR的“三角形回歸”．
猜想：
我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正n（n＞3）邊形的邊連續轉動，
（1）連續轉動的次數k=

3

時，第一次出現P的“點回歸”；
（2）連續轉動的次數k=

n

時，第一次出現△PQR的“三角形回歸”；
（3）第一次同時出現P的“點回歸”與△PQR的“三角形回歸”時，寫出連續轉動的次數k與正多邊形的邊數n之間的關系．

Answer 1

分析：三個圖形中，第一次點回歸，連續轉動的次數都是3次；第一次出現△PQR的“三角形回歸”，連續轉動的次數就是多邊形的邊數．

解答：解：操作：3，5．（4分）
猜想：（1）第一次點回歸，連續轉動的次數都是3次，故填3；（6分）

（2）第一次出現△PQR的“三角形回歸”，連續轉動的次數就是多邊形的邊數，故填n；（8分）

（3）當n不是3的倍數時，k=3n，當n是3的倍數時，k=n．（9分）

點評：正確理解題意是解決本題的關鍵．