Question

已知：把和按如圖（1）擺放（點與點重合），點、（）、在同一條直線上．，，，，．如圖（2），從圖（1）的位置出發，以的速度沿向勻速移動，在移動的同時，點從的頂點出發，以2 cm/s的速度沿向點勻速移動.當的頂點移動到邊上時，停止移動，點也隨之停止移動．與相交于點，連接，設移動時間為．

（1）當為何值時，點在線段的垂直平分線上？

（2）連接，設四邊形的面積為，求與之間的函數關系式；是否存在某一時刻，使面積最小？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由．

（3）是否存在某一時刻，使、、三點在同一條直線上？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由．（圖（3）供同學們做題使用）

 

Answer 1

【答案】

（1）2s；（2）3s，cm²；（3）1s

【解析】

試題分析：（1）根據垂直平分線的性質可得AP=AQ，根據三角形的內角和定理可求的∠EQC=45°，即可證得CE=CQ，由題意知：CE=t，BP=2t，則CQ=t，AQ=8－t，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm，AP=10－2 t，即可求得結果；

（2）過P作，交BE于M，在Rt△ABC和Rt△BPM中，由，可得PM=，由BC =" 6" cm，CE = t可得BE = 6－t，再根據三角形的面積公式及二次函數的性質求解即可；

（3）假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上，過P作，交AC于N，證得△PAN ∽△BAC，根據相似三角形的性質可得，，由NQ = AQ－AN可得NQ = 8－t－() = ．證得△QCF∽△QNP，再根據相似三角形的性質求解即可.

（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC. 

∴CE =" CQ."

由題意知：CE = t，BP ="2" t，

∴CQ = t.

∴AQ = 8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm，AP = 10－2 t.

∴10－2 t = 8－t.

解得：t = 2.

答：當t =" 2" s時，點A在線段PQ的垂直平分線上；

（2）過P作，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

∴ .  

∴PM = .

∵BC =" 6" cm，CE = t， 

∴BE = 6－t.

∴y=S_△ABC－S_△BPE=－=－==

∵，

∴拋物線開口向上.

∴當t = 3時，y_最小=

答：當t = 3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm²；

（3）假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上.

過P作，交AC于N

∴.

∵，

∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ = AQ－AN，

∴NQ = 8－t－() = ．

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一條直線上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

∵∠FQC = ∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .

∴ . 

∴ . 

∵   

∴

解得t=1.

答：當t = 1s，點P、Q、F三點在同一條直線上.

考點：動點問題的綜合題

點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.