Question

已知：把和按如圖（1）擺放（點與點重合），點、（）、在同一條直線上．，，，，．如圖（2），從圖（1）的位置出發，以的速度沿向勻速移動，在移動的同時，點從的頂點出發，以2 cm/s的速度沿向點勻速移動.當的頂點移動到邊上時，停止移動，點也隨之停止移動．與相交于點，連接，設移動時間為．

（1）當為何值時，點在線段的垂直平分線上？

（2）連接，設四邊形的面積為，求與之間的函數關系式；是否存在某一時刻，使面積最小？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由．

（3）是否存在某一時刻，使、、三點在同一條直線上？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由．（圖（3）供同學們做題使用）

 

Answer 1

【答案】

（1）2（2）（3）1

【解析】

試題分析：1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC.  ∴CE = CQ. 由題意知：CE = t，BP =2 t，∴CQ = t.

∴AQ = 8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm .P = 10－2 t.

 ∴10－2 t = 8－t.

解得：t = 2.

答：當t =" 2" s時，點A在線段PQ的垂直平分線上.    4分

（2）過P作，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

∴ .   ∴PM = .

∵BC =" 6" cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.

∴y = S_△ABC－S_△BPE =－= －

= = .

∵，∴拋物線開口向上.

∴當t = 3時，y_最小=.

答：當t = 3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm².      8分

（3）假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上.

過P作，交AC于N，

∴.

∵，∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ = AQ－AN，

∴NQ = 8－t－() = ．

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一條直線上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

∵∠FQC = ∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .

∴ .  ∴ . 

∵    ∴

解得：t= 1.

(通過△QCF∽△PMF得到t= 1也可)

考點：相似三角形的判定

點評：解答本題的的關鍵是熟練掌握有兩組角對應相等的兩個三角形相似；兩組邊對應成比例且夾角相等的三角形相似.