Question

設方程x²-mx+n=0的兩個實根分別為x₁，x₂，而以x₁²，x₂²為根的二次方程仍是x²-mx+n=0，則這樣的實數對（m，n）個數是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、0

Answer 1

分析：根據韋達定理求得x₁•x₂=n，x₁+x₂=m，所以x₁²•x₂²=n=n²①，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m=m²-2n②，由①②聯立方程組，即可求得實數對（m，n）個數．

解答：解：∵方程x²-mx+n=0的兩個實根分別為x₁，x₂，
∴由韋達定理，得
x₁•x₂=n，x₁+x₂=m；
又∵x₁²，x₂²為根的二次方程仍是x²-mx+n=0，
∴x₁²•x₂²=n=n²，即n²-n=0，①
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m=m²-2n，即m²-2n-m=0，②
由①②，解得

m=2 n=1

，

m=-1 n=1

，

m=1 n=0

或

m=0 n=0

，
當

m=-1 n=1

時，原方程化為x²+x+1=0，而方程無實數根，所以舍掉此解．
∴這樣的實數對（m，n）個數是3個．
故選B．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．