Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．

（1）如果點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1s后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？

（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

【答案】（1）①全等，理由見(jiàn)解析；②cm/s；（2）經(jīng)過(guò)s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇．

【解析】

（1）①根據(jù)時(shí)間和速度分別求得兩個(gè)三角形中的邊的長(zhǎng)，根據(jù)SAS判定兩個(gè)三角形全等．

②根據(jù)全等三角形應(yīng)滿(mǎn)足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程＝速度×?xí)r間公式，先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；

（2）根據(jù)題意結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點(diǎn)Q的速度快，且在點(diǎn)P的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點(diǎn)P多走等腰三角形的兩個(gè)腰長(zhǎng)．

（1）①∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3cm．

∵AB=10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=5cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP(SAS)．

②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，

若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，

則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間s，

∴cm/s；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，

由題意，得x=3x+2×10，

解得：，

∴點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了×3=80cm．

△ABC周長(zhǎng)為：10+10+8=28cm，

若是運(yùn)動(dòng)了三圈即為：28×3=84cm．

∵84﹣80=4cm＜AB的長(zhǎng)度，

∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AB邊上相遇，

∴經(jīng)過(guò)s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇．