Question

（2011•鄭州模擬）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A，C的坐標分別為（3，0），（0，l），點D是線段BC上的動點（與端點B，C不重合），過點D作直線y=-

1

2

x+b交折線OAB于點E．
（1）請寫出直線y=-

1

2

x+b中b的取值范圍；
（2）若△ODE的面積為S，求S與b的函數關系式；
（3）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為矩形O₁A₁B₁C₁（其中O、A，B、C的對應點分別為O₁、A₁、B₁、C₁），請計算矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積為多少？（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）尋找兩個極限位置，①點D與點C重合，②點D與點B重合，可得出b的取值范圍．
（2）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點E在OA邊上，只需求出這個三角形的底邊OE長（E點橫坐標）和高（D點縱坐標），代入三角形面積公式即可；②如果點E在AB邊上，這時△ODE的面積可用長方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；
（3）重疊部分是一個平行四邊形，由于這個平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個平行四邊形落在OA邊上的線段長度，求出計算即可．

解答：解：（1）當點D與點C重合時，直線DE的解析式為y=-

1

2

x+1，此時b=1；
當點D與點B重合時，直線DE的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

，此時b=

5

2

；
故可得b的取值范圍為：1＜b＜

5

2

；
（2）若直線經過點A（3，0）時，則b=

3

2

，
若直線經過點B（3，1）時，則b=

5

2

，
若直線經過點C（0，1）時，則b=1，
①若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1＜b≤

3

2

，如圖1：

此時E（2b，0），
則S=

1

2

OE•CO=

1

2

×2b×1=b；
②若直線與折線OAB的交點在BA上時，即

3

2

＜b＜

5

2

，如圖2：

此時E（3，b-

3

2

），D（2b-2，1），
則S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE），
=3-[

1

2

（2b-2）×1+

1

2

×（5-2b）•（

5

2

-b）+

1

2

×3（b-

3

2

）]
=

5

2

b-b²，
故S=

b(1＜b≤ 3 2 ) 5 2 b-b2( 3 2 ＜b＜ 5 2 )

．
（3）如圖3，

設O₁A₁與CB相交于點M，OA與C₁B₁相交于點N，則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積，
由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
則四邊形DNEM為平行四邊形，
根據軸對稱知，∠MED=∠NED，
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四邊形DNEM為菱形，
過點D作DH⊥OA，垂足為H，設菱形DNEM的邊長為a，
由題意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
則在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=

5

4

，
∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=

5

4

．
即矩形OA₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積為

5

4

．

點評：本題屬于一次函數與矩形的結合題，涉及的知識點較多，是個不可多得的好題，有利于培養學生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區分度．