Question

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AAS證△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；
（2）得出四邊形ADCF是平行四邊形，根據直角三角形斜邊上中線性質得出CD=AD，根據菱形的判定推出即可．
解答：（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中

∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=DC．

（2）四邊形ADCF是菱形，
證明：AF∥BC，AF=DC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，
∴AD=DC，
∴平行四邊形ADCF是菱形．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應用，主要考查學生的推理能力．