Question

【題目】已知關于x的一元二次方程：x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有兩個不相等的實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若原方程的兩個實數根為x1、x2 ， 且滿足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2 ， 求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有兩個不相等的實數根，

∴△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）=8m﹣16＞0，

解得：m＞2．

（2）解：∵原方程的兩個實數根為x1、x2，

∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5．

∵m＞2，

∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1x2=m2+5＞0，

∴x1＞0、x2＞0．

∵x12+x22= ﹣2x1x2=|x1|+|x2|+2x1x2，

∴4（m+1）2﹣2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m﹣18=0，

解得：m=3

【解析】（1）由方程有兩個不相等的實數根結合根的判別式即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）根據根與系數的關系即可得出x1+x2=2（m+1）、x1x2=m2+5，結合m的取值范圍即可得出x1＞0、x2＞0，再由x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2即可得出6m﹣18=0，解之即可得出m的值．
【考點精析】關于本題考查的求根公式和根與系數的關系，需要了解根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能得出正確答案．