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【題目】已知雙曲線y= (x>0),直線l1:y﹣ =k(x﹣ )(k<0)過定點F且與雙曲線交于A,B兩點,設A(x1 , y1),B(x2 , y2)(x1<x2),直線l2:y=﹣x+

(1)若k=﹣1,求△OAB的面積S;
(2)若AB= ,求k的值;
(3)設N(0,2 ),P在雙曲線上,M在直線l2上且PM∥x軸,問在第二象限內(nèi)是否存在一點Q,使得四邊形QMPN是周長最小的平行四邊形?若存在,請求出Q點的坐標.

【答案】
(1)

解:當k=﹣1時,l1:y=﹣x+2

聯(lián)立得, ,化簡得x2﹣2 x+1=0,

解得:x1= ﹣1,x2= +1,

設直線l1與y軸交于點C,則C(0,2 ).

SOAB=SAOC﹣SBOC= 2 (x2﹣x1)=2


(2)

解:根據(jù)題意得: 整理得:kx2+ (1﹣k)x﹣1=0(k<0),

∵△=[ (1﹣k)]2﹣4×k×(﹣1)=2(1+k2)>0,

∴x1、x2 是方程的兩根,

①,

∴AB= =

=

=

將①代入得,AB= = (k<0),

=

整理得:2k2+5k+2=0,

解得:k=﹣2,或 k=﹣


(3)

解:∵y﹣ =k(x﹣ )(k<0)過定點F,

∴x= ,y=

∴F( ),

設P(x, ),則M(﹣ + ),

則PM=x+ = =

∵PF= =

∴PM=PF.

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2,

當點P在NF上時等號成立,此時NF的方程為y=﹣x+2

由(1)知P( ﹣1, +1),

∴當P( ﹣1, +1)時,PM+PN最小,此時四邊形QMPN是周長最小的平行四邊形,

∴Q(﹣ ,2


【解析】(1)求出A、B點的橫坐標,根據(jù)SOAB=SAOC﹣SBOC計算即可.(2)利用方程組以及根與系數(shù)的關系,求出AB,根據(jù)AB= ,列出方程即可解決問題.(3)首先證明PM=PF.推出PM+PN=PF+PN≥NF=2推出當點P在NF上時等號成立,此時NF的方程為y=﹣x+2 ,由(1)知P( ﹣1, +1),由此即可解決問題.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解反比例函數(shù)的性質的相關知識,掌握性質:當k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小; 當k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大.

練習冊系列答案
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C.
D.

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B.2
C.
D.

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①△CMP∽△BPA;
②四邊形AMCB的面積最大值為10;
③當P為BC中點時,AE為線段NP的中垂線;
④線段AM的最小值為2
⑤當△ABP≌△ADN時,BP=4 ﹣4.

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