Question

我們知道：若一個數列從第二個數起，每一個數與前一個數的差等于同一個常數，則該數列就叫做等差數列．如：2，4，6，8，…就是一個等差數列．我們定義：若一個數列的后一個數與前一個數的差組成的新數列是等差數列，則該數列就叫做二階等差數列．如：數列1，3，7，13，21，…的后一個數與前一個數的差組成的新數列是2，4，6，8，…是一個等差數列，所以該數列1，3，7，13，21，…就是一個二階等差數列．
（1）等差數列2，4，6，8，…的第100個數是

200

，前100個數的和為

10100

；
（2）二階等差數列1，3，7，13，21，…的第六個數是

31

；
（3）求二階等差數列1，3，7，13，21，…的第2013個數．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的定義寫出第n個數的表達式，然后求出第100個數，再根據求和公式列式進行計算即可得解；
（2）根據二階等差數列的定義，21加上10即可；
（3）根據已知數據寫出第n個數的表達式，再寫出從第一個數到第n個數的表達式，相加后，利用求和公式列式進行計算即可得解．

解答：解：（1）等差數列2，4，6，8，…的第n個數是2n，
所以，第100個數是200，
前100個數的和為：2+4+6+8+…+200=

100×(2+200)

2

=10100；

（2）∵3-1=2，7-3=4，13-7=6，21-13=8，
∴第6個數是21+10=31；
故答案為：（1）2010100；（2）31；

（3）設第n個數為a_n，則a₁=1，
a₂=a₁+2，
a₃=a₂+2×2，
a₄=a₃+2×3，
…，
a_n=a_n-1+2（n-1），
∴a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n=1+a₁+2+a₂+2×2+a₃+2×3+…+a_n-1+2（n-1），
∴a_n=1+2[1+2+3+（n-1）]，
=1+2×

(n-1)×(1+n-1)

2

，
=1+n（n-1），
即a_n=1+n（n-1），
∴a₂₀₁₃=1+2013×2012=1+4050156=4050157．

點評：本題是對數字變化規律的考查，讀懂題目信息，理解等差數列與二階等差數列的定義是解題的關鍵．