Question

我們知道：若一個數(shù)列從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，則該數(shù)列就叫做等差數(shù)列．如：2，4，6，8，…就是一個等差數(shù)列．我們定義：若一個數(shù)列的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則該數(shù)列就叫做二階等差數(shù)列．如：數(shù)列1，3，7，13，21，…的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是2，4，6，8，…是一個等差數(shù)列，所以該數(shù)列1，3，7，13，21，…就是一個二階等差數(shù)列．
（1）等差數(shù)列2，4，6，8，…的第100個數(shù)是______，前100個數(shù)的和為______；
（2）二階等差數(shù)列1，3，7，13，21，…的第六個數(shù)是______；
（3）求二階等差數(shù)列1，3，7，13，21，…的第2013個數(shù)．

Answer 1

解：（1）等差數(shù)列2，4，6，8，…的第n個數(shù)是2n，
所以，第100個數(shù)是200，
前100個數(shù)的和為：2+4+6+8+…+200==10100；

（2）∵3-1=2，7-3=4，13-7=6，21-13=8，
∴第6個數(shù)是21+10=31；
故答案為：（1）2010100；（2）31；

（3）設(shè)第n個數(shù)為a_n，則a₁=1，
a₂=a₁+2，
a₃=a₂+2×2，
a₄=a₃+2×3，
…，
a_n=a_n-1+2（n-1），
∴a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n=1+a₁+2+a₂+2×2+a₃+2×3+…+a_n-1+2（n-1），
∴a_n=1+2[1+2+3+（n-1）]，
=1+2×，
=1+n（n-1），
即a_n=1+n（n-1），
∴a₂₀₁₃=1+2013×2012=1+4050156=4050157．
分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出第n個數(shù)的表達(dá)式，然后求出第100個數(shù)，再根據(jù)求和公式列式進(jìn)行計算即可得解；
（2）根據(jù)二階等差數(shù)列的定義，21加上10即可；
（3）根據(jù)已知數(shù)據(jù)寫出第n個數(shù)的表達(dá)式，再寫出從第一個數(shù)到第n個數(shù)的表達(dá)式，相加后，利用求和公式列式進(jìn)行計算即可得解．
點評：本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，讀懂題目信息，理解等差數(shù)列與二階等差數(shù)列的定義是解題的關(guān)鍵．