Question

如圖，有一座山，大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑4千米，山高4

15

千米．在山坡SA的中點C有一聯(lián)絡(luò)站，要從山腳A修一盤山路，繞山坡一周將物資運往SA的中點C，這條公路的最短路程為多少？

Answer 1

分析：公路的最短路程為圓錐展開圖中點A到C′的距離．可由勾股定理求得母線SB，由底面周長等于扇形的弧長求得扇形的圓心角的度數(shù)為90度，再勾股定理求得AC′的長．

解答：解：如圖，將圓錐沿SA展開得到扇形ASA′，則這條公路的最短路程是AC′．
在Rt△OBS中可得SB=16．（2分）
∴SA=16，SC′=8，弧長AA′為8π．
設(shè)圓心角∠ASA′為n°，
則8π=

nπ×16

180

，
n=90，（5分）
∴∠ASA′為90°．
在Rt△ASC′中，AC′=

AS2+SC′2

=8

5

（千米）．（7分）
答：這條公路的最短路程為8

5

千米．（8分）

點評：本題利用了勾股定理，圓的周長公式，弧長公式求解．