Question

    如圖，三角形ABC的兩個頂點B、C在圓上，頂點A在圓外，AB、AC分別交圓于E、D兩點，連結EC、BD．

  (1)求證：ΔABD∽ΔACE；

  (2)若ΔBEC與ΔBDC的面積相等，試判定三角形ABC的形狀．

Answer 1

  (1)證明：因為弧ED所對的圓周角相等，所以∠EBD=∠ECD，…………………2分

  又因為∠A=∠A，所以△ABD∽ΔACE．……………………………………………4分

  (2)法1：因為S_△BEC=S_△BCD，

  S_△ACE=S_△ABC-S_△BEC，S_△ABD=S_△ABC一S_△BCD，………………………………6分

  所以S_△ACE=S_△ABD，

  又由(1)知△ABD∽ΔACE，

  所以對應邊之比等于1，……………………………………………………………8分

  所以AB=AC，即三角形ABC為等腰三角形．……………………………………9分

  法2：因為ΔBEC與ΔBCD的面積相等，有公共底邊BC，所以高相等，

  即E、D兩點到BC距離相等，所以ED‖BC，……………………………………6分

  所以∠BCE=∠CED，

  又因為∠CED=∠CBD，

  所以∠BCE=∠CBD，………………………………………………………………8分

  由(1)知△ABD∽ΔACE，

  所以∠ABD=∠ACE，

  所以∠ABC=∠ACB，

  即三角形ABC為等腰三角形．  ……………………………………………………9分