Question

（2013年四川攀枝花12分）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點B（10，0），C（7，4）．直線l經過A，D兩點，且sin∠DAB=．動點P在線段AB上從點A出發以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線A→D→C相交于點M，當P，Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設點P，Q運動的時間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．

（1）點A的坐標為　  　，直線l的解析式為　  　；

（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍；

（3）試求（2）中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）隨著P，Q兩點的運動，當點M在線段DC上運動時，設PM的延長線與直線l相交于點N，試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（﹣4，0）；y=x+4。

（2）在點P、Q運動的過程中：

①當0＜t≤1時，如圖1，

過點C作CF⊥x軸于點F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5。

過點Q作QE⊥x軸于點E，則BE=BQ•cos∠CBF=5t•=3t。

∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，

S=PM•PE=×2t×（14﹣5t）=﹣5t²+14t。

②當1＜t≤2時，如圖2，

過點C、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，則CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t。

S=PM•PE=×2t×（16﹣7t）=﹣7t²+16t。

③當點M與點Q相遇時，DM+CQ=CD=7，

即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=。

當2＜t＜時，如圖3，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，

S=PM•MQ=×4×（16﹣7t）=﹣14t+32。

綜上所述，點Q與點M相遇前S與t的函數關系式為。

（3）①當0＜t≤1時，，

∵a=﹣5＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，

∴當0＜t≤1時，S隨t的增大而增大。

∴當t=1時，S有最大值，最大值為9。

②當1＜t≤2時，，

∵a=﹣7＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，

∴當t=時，S有最大值，最大值為。

③當2＜t＜時，S=﹣14t+32

∵k=﹣14＜0，∴S隨t的增大而減小。

又∵當t=2時，S=4；當t=時，S=0，∴0＜S＜4。

綜上所述，當t=時，S有最大值，最大值為。

（4）t=或t=時，△QMN為等腰三角形。

【解析】（1）利用梯形性質確定點D的坐標，由sin∠DAB=，利用特殊三角函數值，得到△AOD為等腰直角三角形，從而得到點A的坐標；由點A、點D的坐標，利用待定系數法求出直線l的解析式：

 ∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）。

∵sin∠DAB=，∴∠DAB=45°。∴OA=OD=4。∴A（﹣4，0）。

設直線l的解析式為：y=kx+b，則有，解得：。∴y=x+4。

∴點A坐標為（﹣4，0），直線l的解析式為：y=x+4。

（2）弄清動點的運動過程分別求解：①當0＜t≤1時，如圖1；②當1＜t≤2時，如圖2；③當2＜t＜時，如圖3。

（3）根據（2）中求出的S表達式與取值范圍，逐一討論計算，最終確定S的最大值。

（4）△QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論：

①如圖4，點M在線段CD上，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，

由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=。

②如圖5，當點M運動到C點，同時當Q剛好運動至終點D，

此時△QMN為等腰三角形，t=。

∴當t=或t=時，△QMN為等腰三角形。

考點：一次函數綜合題，雙動點問題，梯形的性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，由實際問題列函數關系式，一次函數和二次函數的性質，等腰三角形的性質，分類思想的應用。