Question

已知：如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋2與x軸的交點是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點是C．

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）設P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q．

①當x取何值時，線段PQ長度取得最大值？其最大值是多少?

②是否存在點P，使△OAQ為直角三角形？若存在，求點P坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）①x＝3，1；②P（3，0）或或．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線過A（3，0），B（6，0）即可根據待定系數法列方程組求解；

（2）①先求得拋物線與y軸的交點C的坐標，再求得直線BC的函數表達式，即可表示出線段PQ的長關于x的函數關系式，再根據二次函數的性質求解即可；

②當時，點P與點A重合，則P（3，0） ；當時，點P與點C重合，則x＝0（不合題意）；當時，設PQ與軸交于點D，先根據同角的余角相等證得△ODQ∽△QDA，根據相似三角形的性質可得，即可得到關于x的方程，從而求得結果．

（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），

∴，解得：

∴拋物線函數表達式是；

（2）①∵當x＝0時，y＝2，

∴點C的坐標為（0，2）．

設直線BC的函數表達式是，

則有，解得，

∴直線BC的函數表達式是y＝ 

∵0＜x＜6，

∴PQ＝－（）＝＝．

∴當x＝3時，線段PQ的長度取得最大值1；

②當時，點P與點A重合，∴P（3，0）

當時，點P與點C重合，∴x＝0（不合題意）

當時，設PQ與軸交于點D．  

，

．

又

∴△ODQ∽△QDA．

∴，即．

∴，，

∴． 

∴．

∴或．

∴所求的點P的坐標是P（3，0）或或．

考點：動點問題的綜合題

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．