Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，它們的橫坐標分別為-1和3，與y軸交點C的縱坐標為3，△ABC的外接圓的圓心為點M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求圖象經過M、A兩點的一次函數解析式；
（3）在（1）中的拋物線上是否存在點P，使過P、M兩點的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點E、F和點B所組成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意即可得出A、B、C三點的坐標，可通過待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）本題的關鍵是求出M點的坐標，可如果設圓M與y軸的另一交點為D，那么可根據相交弦定理求出OD的長，進而可求出M點的縱坐標，同理可求出M的橫坐標，得出M的坐標后可用待定系數法求出直線MA的解析式．
（3）本題要分情況進行討論：
①當EF∥CA時，△ABC∽△EBF，可根據兩直線平行得出直線EF的斜率與直線AC的相同，然后根據直線EF過M點，即可求出直線EF的解析式，然后聯立拋物線即可求出它們的交點P的坐標．
②當∠BFE=∠A時，△ABC∽△FBE，思路同①，可通過構建相似三角形來求E點的坐標以得出直線EF的解析式．可過A作AG⊥BC于G，過M作MH⊥AB于H，那么通過相似三角形AGC和MHE可求出E點的坐標，然后同①的方法進行求解即可．

解答：解：（1）由題意可知：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）
可得拋物線的解析式為y=-x²+2x+3

（2）設y軸于圓M的另一交點為D，根據相交弦定理可得出OD=OA•OB÷OC=1
由此可求得M點的縱坐標為1
同理可求出M點的橫坐標為1
∴M的坐標為（1，1）
設過A、M點的直線解析式為y=kx+b，有
k+b=1，-k+b=0
∴k=

1

2

，b=

1

2

直線解析式為：y=

1

2

x+

1

2

（3）在（1）中的拋物線上存在點P
使△BEF與△ABC相似．
①若△BEF∽△ABC，則EF∥AC
∵直線AC為：y=3x+3
∴設直線EF為：y=3x+b₁過m（1，1）
∴直線EF為：y=3x-2
點P的坐標滿足y=3x-2，y=-x²+2x+3
解之x₁=-

1

2

+

21

2

，x₂=-

1

2

-

21

2

y₁=-

7

2

+

3 21

2

，y₂=-

7

2

-

3 21

2

所以P₁（-

1

2

+

21

2

，-

7

2

+

3 21

2

），P₂（-

1

2

-

21

2

，-

7

2

-

3 21

2

）
②若△BEF∽△ABC，則∠ACG=∠MEH
過點A作AG⊥BC于G，有∠AGC=∠MEH
∴△ACG∽△MEH
其中AC=

10

，CG=

2

，AG=2

2

，MH=1
∵AG：CG=MH：HE，即2

2

：

2

=1：HE
∴HE=

1

2

，E的坐標為（

1

2

，0）
直線EM解析式為：y=2x-1
同理可得：P₃（2，3），P_4（-2，-5）
綜上所述：P₁（-

1

2

+

21

2

，-

7

2

+

3 21

2

），P₂（-

1

2

-

21

2

，-

7

2

-

3 21

2

），P₃（2，3），P₄（-2，-5）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、函數圖象的交點、相似三角形的判定和性質等重要知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．