Question

如圖，已知△ABO的頂點A和AB邊的中點C都在雙曲線y=

k

x

（x＞0）的一個分支上，點B在x軸上，CD⊥OB于D，若△AOC的面積為3，則k的值為（　　）

• A．2
• B．3
• C．4
• D．

  3

  2

Answer 1

分析：過點A作AM⊥OB于M，設點A坐標為（x，y），根據過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=

1

2

|k|．可求出S_△AMO和S_△AMB，進而求出S_△AOB，又因為C為AB中點，所以△AOC的面積為△AOB面積的一半，問題得解．

解答：解：過點A作AM⊥OB于M，設點A坐標為（x，y），
∵頂點A在雙曲線y=

k

x

（x＞0）圖象上，
∴xy=k，
∴S_△AMO=

1

2

OM•AM=

1

2

xy=

1

2

k，
設B的坐標為（a，0），
∵中點C在雙曲線y=

k

x

（x＞0）圖象上，CD⊥OB于D，
∴點C坐標為（

a+x

2

，

y

2

），
∴S_△CDO=

1

2

OD•CD=

1

2

•

a+x

2

•

y

2

=

1

2

k，
∴ay=3k，
∵S_△AOB=S_△AOM+S_△AMB
=

1

2

k+

1

2

•（a-x）y
=

1

2

k+

1

2

ay-

1

2

xy=

1

2

k+

1

2

×3k-

1

2

k，
=

3

2

k，
又∵C為AB中點，
∴△AOC的面積為

1

2

×

3

2

k=3，
∴k=4，
故選C．

點評：此題主要考查了反比例函數 y=

k

x

中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得三角形面積為

1

2

|k|，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．