Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D，E，N分別是△ABC的AB，AC，BC邊上的中點(diǎn)，連接AN，DE交于點(diǎn)M．

（1）觀察猜想：的值為　 　：的值為　 　；

（2）探究與證明：將△ADE繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°），且△ADE內(nèi)部的線段AM隨之旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，連接BD，CE，MN，試探究線段BD與CE和BD與MN之間分別有什么樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）拓展與延伸：△ADE在旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)直線CE與BD相交于點(diǎn)F，當(dāng)∠CAE＝90°時，BF＝　 　．

Answer 1

【答案】（1），；（2），，見解析；（3）或.

【解析】

（1）由三角形中位線定理可得AD=BD=3，AE=EC=4，DE∥BC，由勾股定理可求BC=10，由直角三角形的性質(zhì)可得AN=5，由平行線分線段成比例可得，即可求解；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△ADB∽△AEC，△ABD∽△ANM，由相似三角形的性質(zhì)可求解；

（3）分當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上和點(diǎn)E在線段BA的延長線上在兩種情況討論，由勾股定理可求BD，CE的長，由相似三角形的性質(zhì)可求BF的長．

（1）∵AB=6，AC=8，點(diǎn)D，E分別是△ABC的AB，AC邊上的中點(diǎn)，∴AD=BD=3，AE=EC=4，DE∥BC，∴．

∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC10．

∵點(diǎn)N是BC上的中點(diǎn)，∴ANBC=5．

∵DE∥BC，∴，∴．

故答案為：，；

（2），．理由如下：

由圖1可得：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△ADM∽△ABM，∴，．

∵將△ADE繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角，∴∠DAB=∠CAE=α，且，∴△ADB∽△AEC，∴．

∵∠BAD=∠MAN=α，且，∴△ABD∽△ANM，∴．

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時．

∵AB=6，AC=8，AE=4，AD=3，∴CD=11，BD3，CE4．

∵，∴，且∠DAE=∠EAC=90°，∴△AEC∽△ADB，∴∠ABD=∠ACE，且∠ABD+∠BDA=90°，∴∠ACE+∠BDA=90°，∴∠DFC=90°=∠BAC，且∠ACE=∠ACE，∴△ACE∽△FCD，∴，∴DF，∴BF=BD﹣DF．

如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上．

同理可得：BD=3，BE=10，∠BAC=∠EFB=90°．

∵∠EBF=∠EBF，∠BAD=∠EFB=90°，∴△ADB∽△FEB，∴，∴BF4．

綜上所述：當(dāng)∠CAE=90°時，BF=4或．

故答案為：4或．