Question

15．如圖，拋物線y=a（x-1）²-n與直線y=2x+b相交于點A（-1，0）和點B（m，12）．
（1）試確定該二次函數的表達式；
（2）若拋物線y=a（x-1）²-n的頂點為C，求△ABC的面積；
（3）若點P是拋物線y=a（x-1）²-n上點C-點B部分（不含點B和點C）的一動點，當四邊形ABPC的面積達到最大時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A點代入直線解析式可求得b的值，再把B點坐標代入直線解析可求得B點坐標，利用待定系數法可求得二次函數的表達式；
（2）可先求得C點坐標，再利用待定系數法可求得直線BC的解析式，設直線BC與x軸交于點D，可求得D點的坐標，從而可求得△ABC的面積；
（3）當直線BC向右平移與拋物線有唯一的公共點時，四邊形ABPC的面積最大，可設平移后的直線解析式為y=4x+h，聯立拋物線與該方程整理得到一元二次方程，方程有唯一解可求得方程的解，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵點A（-1，0）在直線y=2x+b上，
∴0=-2+b，解得b=2，
∴一次函數解析式為y=2x+2，
∵點B（m，12）在直線y=2x+2上，
∴2m+2=12，解得m=5，
∴B點坐標為（5，12），
∵拋物線y=a（x-1）²-n過A、B兩點，
∴把A、B兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=（-1-1）^{2}a-n}\\{12=（5-1）^{2}a-n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線表達式為：y=（x-1）²-4；
（2）如圖1，設直線BC與x軸交于點D，

由（1）可知C點坐標為（1，-4），設直線BC為y=kx+c，
根據題意可得$\left\{\begin{array}{l}{-4=k+c}\\{12=5k+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=4x-8，令y=0，可解得x=2，
∴D點坐標為（2，0），則AD=3，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×12=24；
（3）當直線BC向右平移與拋物線有唯一的公共點時，四邊形ABPC的面積最大，
∵直線BC解析式為y=4x-8，
∴可設平移后的直線解析式為y=4x+h，
根據題意可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=（x-1）^{2}-4}\\{y=4x+h}\end{array}\right.$有唯一的解，
∴方程x²-6x-3-h=0有唯一的解，
∴（-6）²-4×1×（-3-h）=0，解得h=-12，
此時方程x²-6x+9=0的唯一解為x=3，
當x=3時，代入拋物線可知y=0，
∴P點坐標為（3，0），
即當P點坐標為（3，0）時，四邊形ABPC的面積最大．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、三角形的面積、一元二次方程及判別式等．在（1）中注意點的坐標與函數解析式的關系，在（2）中求得D點的坐標是解題的關鍵，注意圖形的分割，在（3）中確定出P點的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合較強，特別是第（3）問中P點位置的確定難度很大．