Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．動點P從點B出發，沿射線BC的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q同時從點A出發，在線段AD上以每秒1個單位長的速度向點D運動，當其中一個動點到達端點時另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為t（秒）．
（1）設△DPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
（2）當t為何值時，四邊形PCDQ是平行四邊形？
（3）分別求出當t為何值時，①PD=PQ，②DQ=PQ．

Answer 1

【答案】分析：（1）S_△QDP=DQ•AB，由題意知：AQ=t，DQ=AD-AQ=16-t，將DQ和AB的長代入，可求出S與t之間的函數關系式；
（2）當四邊形PCDQ為平行四邊形時，PC=DQ，即16-t=21-2t，可將t求出；
（3）當PD=PQ時，可得：AD=3t，從而可將t求出；當DQ=PQ時，根據DQ²=PQ²即：t²+12²=（16-t）²可將t求出．
解答：（1）解：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，
依題意AQ=t，BP=2t，則DQ=16-t，PC=21-2t，
過點P作PE⊥AD于E，
則四邊形ABPE是矩形，PE=AB=12，
∴S_△DPQ=DQ•AB=（16-t）×12=-6t+96．

（2）當四邊形PCDQ是平行四邊形時，PC=DQ，
∴21-2t=16-t解得：t=5，
∴當t=5時，四邊形PCDQ是平行四邊形．

（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，
①當PD=PQ時，QE=ED=QD，
∵DE=16-2t，
∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16-2t，
解得：t=，
∴當t=時，PD=PQ
②當DQ=PQ時，DQ²=PQ²
∴t²+12²=（16-t）²解得：t=
∴當t=時，DQ=PQ
點評：本題主要考查梯形、平行四邊形的特殊性質，在解題過程中要注意數形結合．