Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸于點A(-3，0)和點B(1，0)，交y軸于點C．

(1)求這個拋物線的函數表達式．

(2)點D的坐標為(-1，0)，點P為第二象限內拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值．

(3)點M為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點N，使△MNO為等腰直角三角形，且∠MNO為直角？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=-x2-x+2；(2)S的最大值為；(3)存在，點N的坐標為：(，)或(，)或(，)或(，)．

【解析】

(1)拋物線的表達式為：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，即可求解；

(2)S四邊形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC，即可求解；

(3)分點N在x軸上方、點N在x軸下方兩種情況，分別求解．

解：(1)拋物線的表達式為：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，

即-3a=2，解得：a=-，

故拋物線的表達式為：y=-x2-x+2，

則點C(0，2)，函數的對稱軸為：x=1；

(2)連接OP，設點P(x，-x2-x+2)，

則S=S四邊形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|-×CO×OD

=(-x2-x+2)×2×(-x)-=-x2-3x+2，

∵-1＜0，故S有最大值，當x=-時，S的最大值為；

(3)存在，理由：

△MNO為等腰直角三角形，且∠MNO為直角時，點N的位置如下圖所示：

①當點N在x軸上方時，點N的位置為N1、N2，

N1的情況(△M1N1O)：

設點N1的坐標為(x，-x2-x+2)，則M1E=x+1，

過點N1作x軸的垂線交x軸于點F，過點M1作x軸的平行線交N1F于點E，

∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，∠M1N1E+∠EM1N1=90°，∴∠EM1N1=∠FN1O，

∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1，

∴△M1N1E≌△N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，

即：x+1=-x2-x+2，解得：x=(舍去負值)，

則點N1(，)；

N2的情況(△M2N2O)：

同理可得：點N2(，)；

②當點N在x軸下方時，點N的位置為N3、N4，

同理可得：點N3、N4的坐標分別為：(，)、(，)；

綜上，點N的坐標為：(，)或(，)或(，)或(，)．