Question

如圖，圓O的半徑OA與OB互相垂直，P是線段OB延長線上的一動點，線段AP交圓O于點D，過D點作圓O的切線交OP于點E．
（1）觀察圖形，點P在移動過程中比較DE與EP的大小關系，并對你的結論加以證明；
（2）作DH⊥OP于點H，若HE=6，DE=，求圓O半徑的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）DE=EP，連接OD，根據切線的性質定理和圓的半徑相等即可證明結論成立；
（2）由題意可知△DHE為直角三角形，利用銳角三角函數關系求出∠HED=30°，進而求出∠DOB=60°，問題得解．
解答：解：（1）DE=EP…（1分）
證明如下：連接OD，
∵EF是⊙O的切線，
∴OD⊥EF，
∵OA=OD
∴∠OAP=∠ODA
∴∠EDP=∠ADF=90°-∠ODA=90°-∠OAP
∵AO⊥OP
∴∠P=90°-∠OAP
∴∠P=∠EDP，
∴DE=EP；

（2）在Rt△DHE中，
∵HE=6，DE=，∠DHE=90°
∴cos∠HED=，
∴∠HED=30°
∴∠DOB=60°，
∵△ODE是直角三角形，DE=，
∴OD=4．
點評：本題考查了圓的切線的性質定理，圓的半徑組成的等腰三角形和等腰三角形的判定以及解直角三角形得有關知識，題目的難度中等．