Question

【題目】已知，如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線與直線都經過點．

（1）求與的值；

（2）此雙曲線又經過點，點是軸的負半軸上的一點，且點到軸的距離是2 ，聯結、、，

①求的面積；

②點在軸上，為等腰三角形，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）k=8，m=4；（2）①8；②

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出m的值，進而可得出點A的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出k的值；

（2）①由（1）可得出雙曲線的表達式，利用反比例函數圖象上點的坐標特征可得出點B的坐標，由點C的位置可得出點C的坐標，由點A，B，C的坐標可得出AB，AC，BC的長，由AB2＋BC2＝AC2可得出∠ABC＝90°，利用三角形的面積公式可求出△ABC的面積；

②設點E的坐標為（0，a），由點A，C的坐標可得出AC2，AE2，CE2的值，分AE＝AC，CE＝AC，CE＝AE三種情況，可得出關于a的一元二次方程（或一元一次方程），解之即可得出結論．

解：（1）∵直線y＝2x經過點A（2，m），

∴m＝2×2＝4，

∴點A的坐標為（2，4）．

∵雙曲線經過點A（2，4），

∴4＝，

∴k＝8．

（2）①由（1）得：雙曲線的表達式為y＝．

∵雙曲線y＝經過點B（n，2），

∴2＝，

∴n＝4，

∴點B的坐標為（4，2）．

∵點C是y軸的負半軸上的一點，且點C到x軸的距離是2，

∴點C的坐標為（0，2），

∴AB＝，

BC＝，

AC＝．

∵（）2＋（）2＝（）2，

∴AB2＋BC2＝AC2，

∴∠ABC＝90°，

∴S△ABC＝ABBC＝××＝8．

②設點E的坐標為（0，a），

∴AE2＝（02）2＋（a4）2＝a28a＋20，CE2＝[a（2）]2＝a2＋4a＋4，AC2＝40．

分三種情況考慮，如圖2所示．

（i）當AE＝AC時，a28a＋20＝40，

解得：a1＝2（舍去），a2＝10，

∴點E1的坐標為（0，10）；

（ii）當CE＝AC時，a2＋4a＋4＝40，

解得：a3＝2＋2，a4＝22，

∴點E2的坐標為（0，2＋2），點E3的坐標為（0，22）；

（iii）當CE＝AE時，a2＋4a＋4＝a28a＋20，

解得：a＝，

∴點E4的坐標為（0，）．

綜上所述：點E的坐標為（0，10），（0，2＋2），（0，22）或（0，）．