Question

【題目】設二次函數y=ax2+bx+a-5（a、b為常數，a≠0），且2a+b=3.

（1）若該二次函數的圖象經過點（-1,4），求該二次函數的解析式.

（2）無論a取何常數，這個二次函數的圖象始終經過一個定點，求出這個定點坐標.

（3）已知點P（x0,m）和Q（1，n）都在二次函數的圖象上，若x0＜1,且m>n，求x0的取值范圍（用含a的代數式表示）。

Answer 1

【答案】（1）y=3x2-3x-2；（2）（1，-2）；（3）（a>0）

【解析】

（1）將點（-1，4），即可求該二次函數的表達式
（2）將2a+b=3代入二次函數y=ax2+bx+a-5（a，b為常數，a≠0）中，整理得y=[ax2+（3-2a）x+a-3]-2=（ax-a+3）（x-1）-2，可知恒過點（1，2）；
（3）通過y=ax2+（3-2a）x+a-5，可求得對稱軸為 ，因為x0＜1，且m＞n，所以只需判斷對稱軸的位置即可求x0的取值范圍．

解：（1）∵函數y=ax2+bx+a-5的圖象經過點（-1，4），且2a+b=3，

∴二次函數的解析式為y=3x2-3x-2；
（2）∵2a+b=3，
∴二次函數y=ax2+bx+a-5=ax2+（3-2a）x+a-5，
整理得，y=[ax2+（3-2a）x+a-3]-2=（ax-a+3）（x-1）-2
∴當x=1時，y=-2，
∴這個二次函數的圖象始終經過一個定點，這個定點坐標為（1，-2）；
（3）∵y=ax2+（3-2a）x+a-5，

∴對稱軸為

∵x0＜1，且m＞n，
∴當a＞0時，對稱軸

解得：

當a＜0時，對稱軸

解得：（不符合題意，故x0不存在）

故x0的取值范圍為：